2024(a3e)-1(a2-9e)(7篇)
来源：公文范文 发布时间：2024-08-25 10:30:03 点击：
篇一：(a3e)-1(a2-9e)
篇二：(a3e)-1(a2-9e)
考研数学二（填空题）模拟试卷104(题后含答案及解析)题型有：1.
1．
设a1，a2，a3均为3维列向量，记矩阵A=(a1，a2，a3)，B=(a1+a2+a3，a1+2a2+4a3a1+3a2+9a3)．如果｜A｜=1，那么｜B｜=___________．
正确答案：2涉及知识点：行列式
2．
设矩阵A=，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则｜B｜=__________.
正确答案：2涉及知识点：行列式
3．
设a1，a2，…，am为正数(m≥2)，则=_______________.
正确答案：max{a1，a2，…，am}解析：假设a1为最大值，则所以
知识模块：函数、极限、连续
4．
设A，B是3阶矩阵，满足AB=A一B，其中则｜A+E｜=_________。
正确答案：
解析：由题设，AB=A—B，则(A+E)(E—B)=E，因此
知识模块：矩阵
5．
设f(x)在x=0处连续，且则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为______。
正确答案：
解析：当x→0时，。由极限的运算法则可得从而=1。又因为f(x)在x=0处连续，所以f(0)==1。根据导数的定义可得所以曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为。
知识模块：一元函数微分学
6．
曲线的水平渐近线方程为_____________．
正确答案：
解析：直接利用曲线的水平渐近线的定义求解．由于因此曲线的水平渐近线为
知识模块：一元函数微分学
7．
曲线的渐近线是____________．
正确答案：y=1解析：
知识模块：一元函数微分学
8．
求=________.
正确答案：
解析：因为所以
知识模块：高等数学
9．
=______。
正确答案：ln2解析：
知识模块：一元函数积分学
10．
∫0aarctan(a＞0)=_________．
正确答案：
解析：利用分部积分法．原式
知识模块：一元函数积分概念、计算及应用
11．
设3阶矩阵A的特征值为2，3，λ．如果｜2A｜=－48，则λ=________．
正确答案：－1．
解析：｜2A｜=8｜A｜，得｜A｜=－6．又｜A｜=2×3×λ．得λ=－1．
知识模块：特征向量与特征值，相似，对角化
12．
=_______
正确答案：
解析：
知识模块：高等数学部分
13．
设f(x)的一个原函数为lnx，则f’(x)=___________．
正确答案：一
解析：由题设知，∫f(x)dx=lnx+C．f(x)=(lnx+C)’=。
知识模块：一元函数积分学
14．
设是f(x)的一个原函数，则∫1exf’(x)dx=___________．
正确答案：一(1+)解析：∫1exf’(x)dx=∫1exdf(x)=[xf(x)]｜1e一∫1ef(x)dx。
知识模块：一元函数积分学
15．
没函数f(μ)可微，且f’(0)=，则z=f(4x2一y2)在点(1，2)处的全微分dz｜(1，2)=_________。
正确答案：4dx一2dy解析：直接利用微分的形式计算，因为
知识模块：多元函数微积分学
16．
正确答案：
解析：所以原式=(e一1)．
知识模块：二重积分
17．
设A=，B为三阶非零矩阵，且AB=0，则r(A)=_______．
正确答案：2解析：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠O，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．
知识模块：线性代数部分
18．
设A是3阶矩阵，|A|=3，且满足|A2+2A|=0，|2A2+A|=0，则A*的特征值是___________．
正确答案：μ2=-6，μ3=1解析：|A||A+2E|=0，因|A|=3，则|A+2E|=0，故A有特征值λ1=一2．
又得因|A|=3=λ1λ2λ3，故λ3=3．
故A*有特征值μ2=一6，μ3=1．
知识模块：线性代数
19．
设η1，…，ηs是非齐次线性方程组AX＝b的一组解，则是k1η1＋…＋ksηs为方程组AX＝b的解的充分必要条件是_______．
正确答案：k1＋k2＋…＋ks＝1解析：显然k1η1＋k2η2＋…＋ksηs为方程组AX＝b的解的充分必要条件是A(k1η1＋k2η2＋…＋ksηs)＝b，因为Aη1＝Aη2＝…＝Aηs＝b，所以(k1＋k2＋…＋ks)b＝b，注意到b≠0，所以k1＋k2＋…＋ks＝1，即k1η1＋k2η2＋…＋ksηs为方程组AX＝b的解的充分必要条件是k1＋k2＋…＋ks＝1．
知识模块：线性方程组
20．
已知有三个线性无关的特征向量，则x=______。
正确答案：0解析：由A的特征方程｜λE一A｜==(λ—1)(λ2一1)=0，可得A的特征值是λ=1(二重)，λ=一1。因为A有三个线性无关的特征向量，所以λ=1必有两个线性无关的特征向量，因此r(E—A)=3—2=1，根据得x=0。
知识模块：矩阵的特征值和特征向量
21．
设A，B均为n阶矩阵，|A|=2，|B|=一3，则|2A*B-1|=_______．
正确答案：
解析：|2A*B-1|=2n|A*||B-1|=2n.|A|n-1知识模块：线性代数
22．
设二阶实对称矩阵A的一个特征值为λ1=1，属于λ1的特征向量为(1，一1)T，若｜A｜=一2，则A=______。
正确答案：
解析：设矩阵A的特征值λ1=1和λ2对应的特征向量分别为α1=(1，一1)T和α2=(x1，x2)T。实对称矩阵必可相似对角化，即存在可逆矩阵Q，使得Q—1AQ=。而相似矩阵的行列式相等，所以一2=｜A｜==λ2，即λ2=一2。又实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量正交，所以α1Tα2=0，即x1一x2=0。方程组x1一x2=0的基础解系为α2=(1，1)T。令Q=(α1，α2)=，则
知识模块：矩阵的特征值和特征向量
23．
计算=______.
正确答案：x1x2x3x4+a1b1x2x3x4+a2b2x1x3x4+a3b3x1x2x4+a4b4x1x2x3涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化
24．
设A＝，则(A＋3E)-1(A2－9E)＝_______．
正确答案：
解析：(A＋3E)-1(A2－9E)＝(A＋3E)-1(A＋3E)(A－3E)＝A－3E＝
知识模块：矩阵
25．
设A＝(a＜0)，且AX＝0有非零解，则A*X＝0的通解为_______．
正确答案：X＝(C1，C1为任意常数)解析：因为AX＝0有非零解，所以｜A｜＝0，而｜A｜＝＝－(a＋4)(a－6)且a＜0，所以a＝－4．
因为r(A)＝2，所以r(A*)＝1．
因为A*A＝｜A｜E＝O，所以A的列向量组为A*X＝0的解，故A*X＝0的通解为X＝(C1，C1为任意常数)．
知识模块：线性方程组
篇三：(a3e)-1(a2-9e)
考研数学三（行列式和矩阵）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1.选择题
2.填空题
3.解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．
设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为()．
A．24B．-24C．48D．-4正确答案：D解析：选
D．
知识模块：行列式
2．
设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，｜E+A｜=0，则｜2E+A2｜为()．
A．0B．54C．-2D．-24正确答案：B解析：因为A的每行元素之和为4，所以A有特征值4，又｜E+A｜=0，所以A有特征值-1，于是2E+A2的特征值为18，3，于是｜2E+A2｜=54，选
B．
知识模块：行列式
填空题
3．
设f(x)=，则x2项的系数为_______．
正确答案：23解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23．
知识模块：行列式
4．
设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，｜A｜的第二行元素的代数余子式分别为a+1，a-2，a-1，则a=_______．
正确答案：1解析：由(a+1)+2(a-2)+3(a-1)=0得a=1．
知识模块：行列式
5．
设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且｜A｜=a，｜B｜=b，则=_______．
正确答案：(-1)mnab解析：将B的第一行元素分别与A的行对调m次，然后将B的第二行分别与A的行对调m次，如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次，则=(-1)mnab．
知识模块：行列式
6．
设三阶方阵A=[A1，A2，A3]，其中Ai(i=1，2，3)为三维列向量，且A的行列式｜A｜=-2，则行列式｜-A1-2A2，2A2+3A3，-3A3+2A1｜=_______．
正确答案：12解析：由(-A1-2A2，2A2+3A3，-3A3+2A1)=(A1，A2，A3)得｜-A1-2A2，2A2+3A3，-3A3+2A1｜=｜A1，A2，A3｜.=12．
知识模块：行列式
7．
设三阶矩阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且｜A｜=3，｜B｜=4，则｜5A-2B｜=_______．
正确答案：63解析：由5A-2B=(5α，5γ1，5γ2)-(2β，2γ1，2γ2)=(5α-2β，3γ1，3γ2)，得｜5A-2B｜=｜5α-2β，3γ1，3γ2｜=9｜5α-2β，γ1，γ2｜=9(5｜α，γ1，γ2｜-2｜β，γ1，γ2｜)=63．
知识模块：行列式
8．
设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，则[(A*)*]-1=______(用A*表示)．
正确答案：
解析：由A*=｜A｜A-1得(A*)*=｜A*｜.(A*)-1=｜A｜n-1.(｜A｜A-1)-1=｜A｜n-2A，故[(A*)*]-1=知识模块：矩阵
9．
设α=(1，-1，2)T，β=(2，1，1)T，A=αβT，则An=______．
正确答案：
解析：βTα=3，A2=αβT.αβT=3αβT=3A，则An=3n-1A=3n-1知识模块：矩阵
10．
A=，且n≥2，则An-2An-1=______．
正确答案：O解析：由A2=2A得An=2n-1A，An-1=2n-2A，所以An-2An-1=O．
知识模块：矩阵
11．
设A=，则(A+3E)-1(A2-9E)=______．
正确答案：
解析：(A+3E)-1(A2-9E)=(A+3E)-1(A+3E)(A-3E)=A-3E=知识模块：矩阵
12．
A2-B2=(A+B)(A-B)的充分必要条件是______．
正确答案：AB=BA解析：A2-B2=(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2的充分必要条件是AB=BA．
知识模块：矩阵
13．
设A是三阶矩阵，且｜A｜=4，则=______.
正确答案：2解析：=｜2A-1｜=23｜A-1｜=2．
知识模块：矩阵
14．
设A为三阶矩阵，且｜A｜=4，则=______.
正确答案：
解析：由A*=｜A｜A-1=4A-1得=｜(2A-1)｜-1=知识模块：矩阵
15．
设A为四阶矩阵，｜A*｜=8，则=______.
正确答案：8解析：因为A为四阶矩阵，且｜A*｜=8，所以｜A*｜=｜A｜3=8，于是｜A｜=2．又AA*=｜A｜E=2E，所以A*=2A-1，故｜(A)-1=｜4A-1-6A-1｜=｜(-2)A-1｜=(-2)4｜A-1｜=16×=8．
知识模块：矩阵
16．
若矩阵A=，B是三阶非零矩阵，满足AB=O，则t=______．
正确答案：1解析：由AB=O得r(A)+r(B)≤3，因为r(B)≥1，所以r(A)≤2，又因为矩阵A有两行不成比例，所以r(A)≥2，于是r(A)=2．由得t=1．
知识模块：矩阵
17．
设A=，则A-1=______．
正确答案：
解析：则A-1=知识模块：矩阵
18．
设A=，则A-1=______．
正确答案：
解析：设A1=，A2=，于是A-1=而A-1=，A-1=，故A-1=知识模块：矩阵
19．
设A=，则(A*)-1=________．
正确答案：
解析：｜A｜=10，因为A*=｜A｜A-1，所以A*=10A-1，故(A*)-1=知识模块：矩阵
20．
设A=，则(A-2E)-1=________．
正确答案：
解析：则(A-2E)-1=知识模块：矩阵
21．
设n阶矩阵A满足A2+A=3E，则(A-3E)-1=________．
正确答案：(A+4E)解析：由A2+A=3E，得A2+A-3E=O，(A-3E)(A+4E)=-9E，(A-3E)[(A+4E)]=E，则(A-3E)-1=(A+4E)．
知识模块：矩阵
22．
设A==________．
正确答案：
解析：令A=(α1，α2，α3)，因为｜A｜=2，所以A*A=｜A｜E=2E，而A*A=(A*α1，A*α2，A*α3)，所以A*α1=，A*α2=，A*α3=于是
知识模块：矩阵
23．
设n维列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A=E-ααT，B=E+αα2，且B为A的逆矩阵，则a=________．
正确答案：-1解析：由AB=(E-ααT)(E+-ααT)=E+ααT-ααT-2aααT=E且ααT≠O，得-1-2a=0，解得a=-1．
知识模块：矩阵
24．
设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA=6A+BA，且A=，则B=________．
正确答案：
解析：由A-1BA=6A+BA，得A-1B=6E+B，于是(A-1-E)B=6E，B=6(A-1-E)-1=知识模块：矩阵
25．
设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)=________．
正确答案：2解析：因为｜B｜=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．
知识模块：矩阵
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
26．
计算行列式
正确答案：
涉及知识点：行列式
27．
计算
正确答案：
涉及知识点：行列式
28．
证明：
正确答案：
涉及知识点：行列式
29．
设(1)计算D；(2)求M31+M33+M34．
正确答案：(1)D==1×A13=M13(2)M31+M33+M34=1×A31+0×A32+1×A33+(-1)×A34=1×A31=M31=-3×A12==-63．
涉及知识点：行列式
篇四：(a3e)-1(a2-9e)
考研数学一（线性代数）模拟试卷113(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________解析：
2.设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则（分数：2.00）
A.24B.一24C.4D.一48√
解析：解析：
（分数：2.00）
A.｜A｜=｜B｜
B.｜A｜≠｜B｜
C.若｜A｜=0则｜B｜=0√
D.若｜A｜＞0则｜B｜＞0解析：解析：因为A经过若干次初等变换化为B，所以存在初等矩阵P1，…，PS，Q1，…，QT，使得B=PS
…P1AQ1…Qt，而P1，…，Ps，Q1，Qt
都是可逆矩阵，所以r(A)=r(B)，若｜A｜=0，且r(A)＜n，则r(B)＜n，即｜B｜=0，选(C)．
4.设，则()．
×2×6=一48，选(D)．
4为()．
3.n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B，则()．
（分数：2.00）
A.B=P1AP2B.B=P2AP1C.B=P2AP1D.B=P1AP2√
解析：解析：显然B==P1AP2，因为P1=P1，所以应选(D)．
－1－1－1－1－15.设α，α，α
线性无关，β
可由α，α，α
线性表示，β
不可由α，α，α
线性表示，对任意的常数k有()．
（分数：2.00）
A.α，α，α，kβ
1+β
线性无关
√
B.α，α，α，kβ
1+β
线性相关
C.α，α，α，β
1+kβ
线性无关
D.α，α，α，β
1+kβ
线性相关
解析：解析：因为β
可由α，α，α
线性表示，β
不可由α，α，α
线性表示，所以kβ
1+β
一定不可以由向量组α，α，α
线性表示，所以α，α，α，kβ
1+β
线性无关，选(A)．
T*6.设α，α，α，α
为四维非零列向量组，令A=(α，α，α，α
4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)，则AX=0的基础解系为()．
（分数：2.00）
A.α，α
B.α，α，α
C.α，α，α
√
D.α，α
解析：解析：因为AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量，所以r(A)=3，于是r(A)=1．
因为A
A=｜A｜E=O，所以α，α，α，α
为AX=0的一组解，又因为－α
2+3α
3=0，所以α，α
线性相关，从而α，α，α
线性无关，即为AX=0的一个基础解系，应选(C)．
7.设α，β为四维非零列向量，且α⊥β，令A=αβ，则A的线性无关特征向量个数为()．
（分数：2.00）
A.1B.2C.3√
D.4解析：解析：因为α，β为非零向量，所以A=αβ
≠O，则r(A)≥1，又因为r(A)=r(αβ)≤r(α)=1，所以r(A)=1．
令AX=λX，由AX=αβ
．αβ
X=O=λ
X得λ=0，因为r(0E—A)=r(A)=1，所以A的线性无关的特征向量个数为3，应选(C)．
8.设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是()．
（分数：2.00）
A.r(A)=r(B)
B.｜A｜=｜B｜
C.A～B
D.A，B与同一个实对称矩阵合同
√
解析：解析：因为A，B与同一个实对称矩阵合同，则A，B合同，反之若A，B合同，则A，B的正、负惯性指数相同，从而A，B与合同，选(D)．
2TT2TTT****二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.设A=，则(A+3E)(A
一9E)=1．
－12（分数：2.00）
填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：(A+3E)(A
一9E)=(A+3E)(A+3E)(A一3E)=A一3E=10.设A=，则A=1．
－1－12－1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：，则r(AB)=1．
11.设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，B=（分数：2.00）
填空项1:__________________（正确答案：正确答案：2）
解析：解析：因为｜B｜=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．
12.设，且α，β，γ两两正交，则a=1，b=2．
（分数：2.00）
填空项1:__________________（正确答案：正确答案：a=一4）
填空项1:__________________（正确答案：b=一13）
解析：解析：因为α，β，γ正交，所以的充分必要条件是1．
（分数：2.00），解得a=一4，b=一13．
13.设η，…，η
s
是非齐次线性方程组AX=b的一组解，则k1η
+…+ks
η
s
为方程组AX=b的解填空项1:__________________（正确答案：正确答案：k1+k2+…+ks=1）
解析：解析：k1+k2+…+ks=1，显然k1η
1+k2η
+…+ks
η
s
为方程组AX=b的解的充分必要条件是A(k1η
+k2η
+…+ks
η
s)=b，因为Aη
=Aη
=…=Aη
s
=b，所以(k1+k2+…+ks)b=b，注意到b≠0，所以k1+k2+…+ks=1，即k1η
1+k2η
+…+ks
η
s
为方程组AX=b的解的充分必要条件是k1+k2+…+ks=1．
14.设α，β为三维非零列向量，(α，β)=3，A=αβ，则A的特征值为1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________（正确答案：正确答案：0或者3）
解析：解析：因为A=3A，令AX=λX，因为AX=λ
X，所以有(λ
一3λ)X=0，而X≠0，故A的特征值为0或者3，因为λ
1+λ
2+λ
3=tr(A)=(α，β)，所以λ
1=3，λ
2=λ
3=0．
15.设5x1+x2+tx3+4x1x2一2x1x3一2x2x3为正定二次型，则t的取值范围是1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________（正确答案：正确答案：t＞2）
解析：解析：二次型的矩阵为A=0，解得t＞2．，因为二次型为正定二次型，所以有5＞0，=1＞0，｜A｜＞2222222T三、解答题(总题数：12，分数：32.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
__________________________________________________________________________________________解析：
设n阶矩阵A满足A+2A一3E=O．求：（分数：4.00）
(1).(A+2E)；（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由A+2A一3E=O得A(A+2E)=3E，(A+2E)=解析：
(2).(A+4E)
．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由A+2A一3E=O得(A+4E)(A一2E)+5E=O，则(A+4E)=解析：
17.设A为n阶矩阵，且A=O，求(E—A)
．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：E
一A=(E一A)(E+A+A
+…+A)，又E
一A=E，所以(E一A)
=E+A+A2kk2k－1kk－1k－12－1－1－12－12A．(A+2E)=E，根据逆矩阵的定义，有A．)(A一2E)．)
+…+Ak－1．)解析：
18.设α，α，…，α
n
(n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时，α
+α，α
+α，…，α
n+α
线性无关．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设有x1，x2，…，xn，使x1(α
1+α
2)+x2(α
2+α)+…+xn(α
n
+α
1)=0，即(x1+xn)α
1+(x1+x2)α
+…+(xn－1+xn)α
n
＝0，因为α，α，…，α
线性无关，所以有，该方程组系数行列式Dn=1+(一1)，n为奇数
n＋1nDn
≠0x1=…=xn=0解析：
19.设向量组（分数：2.00）
α
1+α，α
2+α，…，α
n+α
线性无关．)线性相关，但任意两个向量线性无关，求参数t．
__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：向量组α，α，α
线性相关的充分必要条件是｜α
口，α，α
｜=0，而｜α，α，α
｜=关，所以t=一5．)解析：
20.设α，α，α
为四维列向量组，α，α
线性无关，α
3=3α
1+2α，A=(α，α，α
3)，求AX=0的一个基础解系．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：AX=0x1α
1+x2α
2+x3α
3=0，由α
3=3α
1+2α
可得(x1+3xAX=0的一个基础解系为ξ=．)=(t+1)(t+5)，所以t=一1或者t=一5，因为任意两个向量线性无3)α
+(x2+2x3)α
=0，因为α，α
线性无关，因此
解析：
21.设向量组α，α，…，α
s
为齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，Aβ≠0．证明：齐次线性方程组BY=0只有零解，其中B=(β，β+α，…，β+α
s)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：α，α，…，α
s
线性无关，因为Aβ≠0，所以β，β+α，…，β+α
s
线性无关，故方程组BY=0只有零解．)解析：
设λ
为A的特征值．（分数：6.00）
(1).证明：A
与A特征值相等；（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为｜λE—A
｜=｜(λE—A)
｜=｜λE—A｜，所以A
与A的特征值相等．)解析：
(2).求A，A+2A+3E的特征值；（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为Aα=λ
α(α≠0)，所以A
α=λ
0Aα=λ
α，(A+2A+3E)α=(λ
022222TTTT
+2λ
0+3)α，于是A，A+2A+3E的特征值分别为λ
0，λ
+2λ
0+3．)－1*－122222解析：
(3).若｜A｜≠0，求A，A，E—A
的特征值．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为｜A｜=λ
λ
…λ
n
≠0，所以λ
≠0，由Aα=λ
α得A
α=α，由AAα=｜A｜α得A
α=1**－1，又(E—A)α=(1—
－1)α，于是A，A，E—A－1*－
的特征值分别为
．)
解析：
22.设α=（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：A=αα
，由｜λE—A｜=λ
(λ－2)=0得λ
1=λ
2=0，λ
3=2，因为6E一A
的特征值为6，6，6—2，所以｜6E一A
｜=6(6—2)．)解析：
23.设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得A=O．证明：A不可以对角化．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令AX=λX(X≠0)，则有AX=λ
X，因为A=O，所以λ
X=0，注意到X≠0，故λ
=0，从而λ=0，即矩阵A只有特征值0(n重)．
因为r(0E一A)=r(A)≥1，所以方程组(0E—A)X=0的基础解系至多含n－1个线性无关的解向量，故矩阵A不可对角化．)解析：
设A～B，．（分数：4.00）
kkkkkknnn2nT2，A=αα
，求｜6E—A
｜．
Tn(1).求a，b；（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：｜λE—A｜=(λ一2)[λ
一(a+3)λ+3(a一1)]=f(λ)，因为λ=2为A的二重特征值，所以a=5，于是｜λE—A｜=(λ一2)(λ一6)，故b=6．)解析：
(2).求可逆矩阵P，使得PAP=B．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由(2E—A)X=0得λ=2对应的线性无关的特征向量为
对应的线性无关的特征向量为ξ
3=解析：
设A为n阶实对称可逆矩阵，f(x1，x2，…，xn)=T－122；
由(6E—A)X=0得λ=6．
令P=，则PAP=B；)－1．（分数：4.00）
(1).记X=(x1，x2，…，xn)，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式；（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：f(X)=(x1，x2，…，xn)A=A，显然A，A
都是实对称矩阵．)解析：
(2).二次型g(X)=XAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为A可逆，所以A的n个特征值都不是零，而A与A
合同，故二次型f(x，1x2，…，xn)与g(x)=XAX规范合同．)解析：
T－1T*－1*－1*
X，因为r(A)=n，所以｜A｜≠0，于是
篇五：(a3e)-1(a2-9e)
考研数学二（线性代数）-试卷5(总分：56.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________解析：
2.设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，且｜E+A｜=0，则｜2E+A
｜为()．
（分数：2.00）
A.B.54√
C.-2D.-24解析：解析：因为A的每行元素之和为4，所以A有特征值4，又｜E+A｜=0，所以A有特征值-1，于是2E+A
的特征值为18，3，于是｜2E+A
｜=54，选(B)3.设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m>n，令r(AB)=r，则()．
（分数：2.00）
A.r>m
B.r=m
C.r D.r≥m 解析：解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n m(m1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是()． （分数：2.00） A.向量组α，α，…，α m 可由向量组β，β，…，β m 线性表示 B.向量组β，β，…，β m 可由向量组α，α，…，α m 线性表示 C.向量组α，α，…，α m 与向量组β，β，…，β m 等价 D.矩阵A=(α，α，…，α m)与矩阵β=(α，α，…，α m)等价 √ 解析：解析：因为α，α，…，α m 线性无关，所以向量组α，α，…，α m 的秩为m，向量组β，β，…，β m 线性无关的充分必要条件是其秩为优，所以选(D)5.设A，B为正定矩阵，C是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是()． （分数：2.00） A.C+AC B.A+B C.A+B D.A-B√ 解析：解析：显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为A，B正定，所以A，B 及A，B 都是正定的，对任意X≠0，X(CAC)X=(CX)A(CX)>0(因为C可逆，所以当X≠0时，CX≠0)，于是CAC为正定矩阵，同样用定义法可证A+B 与A*+B*都是正定矩阵，选(D)6.下列说法正确的是()． （分数：2.00） A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同 C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型 D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的√ 解析：解析：(A)不对，如f=x1x2，令，则f=y1-y2；若令 22-1-1TTTT-1-1****-1-1T222，则f=y1-9y2； 22(B)不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征 值相同；(C)不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为0，不能保证其正惯性指数为n； 选(D)，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一． 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.设A=，则(A+3E)(A-9E)=1． -12（分数：2.00） 填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析：(A+3E)(A-9E)=(A+3E)(A+3E)(A-3E)=A-3E=8.设A=，则A=1． -1-12-1（分数：2.00） 填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析：9.设A=，B为三阶非零矩阵，且AB=0，则r(A)=1． （分数：2.00） 填空项1:__________________（正确答案：正确答案：2） 解析：解析：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠O，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2． 10.设向量组α，α，α 线性无关，且α 1+aα 2+4α，2a1+α 2-α，α 2+α 线性相关，则a=1（分数：2.00） 填空项1:__________________（正确答案：正确答案：5） 解析：解析：(α 1+aα 2+4α，2a1+α 2-α，α 2+α 3)=(α，α，α 3)，α，α 线性无关，而α +aα +4α，2α +α -α，α +α 线性相关，所以 因为α，1解得a=5． 11.设方程组（分数：2.00） 填空项1:__________________（正确答案：正确答案：-1） 解析：解析：因为方程组无解，所以r(A))≤3，于是r(A)=0，得a=-1或a=3．当a=3时，因为 r(A)=r()=2，因为r(A)≠r()，所以方程组无解，于是a=-1． *2*2无解，则a=1． 12.设A为n阶可逆矩阵，若A有特征值λ 0，则(A)+3A+2E有特征值1． （分数：2.00） 填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析：因为A可逆，所以λ ≠0，A 对应的特征值为 征值为 13.设 的特征向量，则a=1，b=2． *，于是(A)+3A+2E对应的特*2*（分数：2.00） 填空项1:__________________（正确答案：正确答案：2） 填空项1:__________________（正确答案：3） 解析：解析：由Aα=λα得14.设 解得λ=5，a=2，b=3．，则α，α，α 经过施密特正交规范化后的向量组为1（分数：2.00） 填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析：令β 1=，β 3=α，正交规范化的向量组为 三、解答题(总题数：13，分数：28.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 __________________________________________________________________________________________解析： 16.设AX=A+2X，其中A=（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由AX=A+2X得(A-2E)X=A，其中A-2E=-1，求X． 因为｜A-2E｜=-1≠0，所以X=(A-2E)A，)k-1解析： 17.设A为n阶矩阵，且A=O，求(E-A) ． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：E-A=(E-A)(E+A+A +…+A)，又E-A=E，所以(E-A)=E+A+A +…+Ak-1kk2k-1kk-12．)解析： 18.设α，α，…，α n (n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时α 1+α，α 2+α，…，α n+α 线性无关． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设有x1，x2，…，xn，使x1(α 1+α 2)+x2(α 2+α)+…+xn(α n +α 1)=0，即-(x1+xn)α 1+(x1+x2)α +…+(xn-1+xn)α n=0，因为α，α，…，α n 线性无关，所以有 解析： 19.设α，α，…，α n 为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：向量β为零向量．(反证法)不妨设β≠0，令k1α 1+k2α +…+kn α n+k0，该方程组系数行列式Dn=1+(-1)，n为奇数 n+1x1=…=xn=0α 1+α，α 2+α，…，α n+α 线性无关．) β=0，上式两边左乘β 得k1β α 1+k2β α +…+kn β α n+kβ β=0因为α，T2TTTTTα，…，α n 与β正交，所以kβ β=0，即k｜β｜ =0，从而k=0，于是klal+k2α …+kn α n=0，再由α，α，…，α n 线性无关，得k1=k2=…=kn=0，故α，α，…，α n，β线性无关，矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关)，所以β=0．)解析： 20.参数a取何值时，线性方程组（分数：2.00） 有无数个解?求其通解． __________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：，原方程组的通解为X=k(-1，0，1) +(2，-1，0)(k为任意常数)；，原方程组的通解为X=k(1，1，1)+(2，2，0)(k为任意TT当a=2时，方程组无解； 当a=-2时，常数)．)解析： 21.(1)a，b为何值时，β不能表示为α，α，α，α 的线性组合?(2)a，b为何值时，J6『可唯一表示为α，α，α，α 的线性组合?（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令x1α 1+x2α 2+x3α 3+x4α 4=β(*)为r(A)=2≠r(解析： 22.，求A的全部特征值，并证明A可以对角化． (1)当a=-1，b≠0时，因)=3，所以方程组(*)无解，即β不能表示为α，α，α，α 的线性组合； (2)当a≠一1时，β可唯一表示为α，α，α，α 的线性组合．)（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令α β=k，则A=kA，设AX=λX，则AX=λ X=kλX，即λ(λ-k)X=0，因为X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k． 由λ +…+λ =tr(A)且tr(A)=k得λ =…=λ =0，1n n-1λ n=k． 因为r(A)=1，所以方程组(0E-A)X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，即λ=0有n-1个线性无关的特征向量，故A可以对角化．)解析： 设α为n维非零列向量，-1T222（分数：4.00） (1).证明：A可逆并求A；（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为A=解析： (2).证明：α为矩阵A的特征向量．（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为Aα=解析： 23.设A=有三个线性无关的特征向量，求x，y满足的条件． =α-2α=-α，所以α是矩阵A的特征向量，其对应的特征值为-1．)2=E，所以A可逆且A=A．)-1（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由｜λE-A｜==(λ+1)(λ-1) 得λ 1=-1，λ 2=λ 3=1，因为A有三得x+y=0．)22个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，所以r(E-A)=1，由E-A=解析： 224.用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x1+2x1x2+2x1x3-4x3为标准形． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：f(x1，x2，x3)=x1+2x1x2+2x1x3-4x3=(x1+x2+x3)-(x2+x)-4x3，222223则f(x1，x2，x3)=XAXTy1-y2-4y3)222解析： 25.设A是n阶正定矩阵，证明：｜E+A｜>1． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为A是正定矩阵，所以A的特征值λ ＞0，λ ＞0，…，λ n ＞0，因此A+E的特征值为λ 1+1＞1，λ 2+1＞1，…，λ n+1＞1，故｜A+E｜=(λ 1+1)(λ +1)…(λ n+1)>1．)解析： （分数：4.00） (1).求PCP；（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为C=解析： (2).证明：D-BAB 为止定矩阵．（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为C与 B 都是正定矩阵．)解析： T-1TT为正定矩阵，所以A=A，D=D，TT)合同，且C为正定矩阵，所以 为正定矩阵，故A与D-BA -1 考研数学一（线性代数）模拟试卷91(题后含答案及解析)题型有：1.选择题 2.填空题 3.解答题 选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1． 设A为四阶非零矩阵，且r(A*)=1，则()． A．r(A)=1B．r(A)=2C．r(A)=3D．r(A)=4正确答案：C解析：因为r(A*)=1，所以r(A)=4—1=3，选(C)． 知识模块：线性代数 2． 设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是()． A．向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表示 B．向量组β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αm线性表示 C．向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价 D．矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，βm)等价 正确答案：D解析：因为α1，α2，…，αm线性无关，所以向量组α1，α2，…，αm的秩为m，向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是其秩为m，所以选(D)． 知识模块：线性代数 3． 设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则()． A．A，B合同 B．A，B相似 C．方程组AX=0与BX=0同解 D．r(A)=r(B) 正确答案：D解析：因为P可逆，所以r(A)=r(B)，选(D)． 知识模块：线性代数 4． 设α1，α2，α3，β1，β2都是四维列向量，且｜A｜=｜α1，α2，α3，β1｜=m，｜B｜=｜α1，α2，β2，α3｜=n，则｜α3，α2，α1，β1+β2｜为()． A．m+nB．m一nC．一(m+n)D．n一m 正确答案：D解析：｜α3，α2，α1，β1+β2｜=｜α3，α2，α1，β1｜+｜α3，α2，α1，β2｜=－｜α1，α2，α3，β1｜－｜α1，α2，α3，β2｜=一｜α1，α2，α3，β1｜+｜α1，α2，β2，α3｜=n一m，选(D)． 知识模块：线性代数 5． 设A，B，A+B，A－1+B－1皆为可逆矩阵，则(A－1+B－1)－1等于()． A．A+BB．A－1+B－1C．A(A+B)－1BD．(A+B)－1正确答案：C解析：A(A+B)－1B(A－1+B－1)=[(A+B)A－1]－1(BA－1+E)=(BA－1+E)－1(BA－1+E)=E，所以选(C)． 知识模块：线性代数 6． 设α1，α2，…，αM与β1，β2，…，βs为两个n维向量组，且r(α1，α2，…，αm)=r(β1，β2，…，βs)=r，则()． A．两个向量组等价 B．r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βs)=rC．若向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，则两向量组等价 D．两向量组构成的矩阵等价 正确答案：C解析：不妨设向量组α1，α2，…，αm的极大线性无关组为α1，α2，…，αr，向量组β1，β2，…，βs的极大线性无关组为β1，β2，…，βr，若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βs线性表示，则α1，α2，…，αr，也可由β1，β2，…，βr线性表示，若β1，β2，…，βr不可由α1，α2，…，αr线性表示，则β1，β2，…，βs也不可由α1，α2，…，αm线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)． 知识模块：线性代数 7． 设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则()． A．当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0有非零解 B．当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0只有零解 C．当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0有非零解 D．当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0只有零解 正确答案：A解析：AB为m阶方阵，当m＞n时，因为r(A)≤n，r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)＜m，于是方程组ABX=0有非零解，选(A)． 知识模块：线性代数 填空题 8． 设f(x)=，则x2项的系数为________． 正确答案：23解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23． 知识模块：线性代数 9． 设A=，则(A+3E)－1(A2一9E)=________． 正确答案： 解析：(A+3E)－1(A2一9E)=(A+3E)－1(A+3E)(A一3E)=A一3E=． 知识模块：线性代数 10． 设n维列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A=E－ααT，B=E＋ααT，且B为A的逆矩阵，则a=________． 正确答案：-1解析：由AB=(E－ααT)(E＋ααT)=E+ααT一ααT一2aααT=E且ααT≠O，得一1—2a=0，解得a=－1． 知识模块：线性代数 11． 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，r(A)=3，且α1+α2=，α2＋α3=，则方程组AX=b的通解为________． 正确答案：(k为任意常数)解析：因为r(A)=3，所以方程组AX=b的通解为Kξ+η，其中ξ=α3一α1=(α2+α3)一 知识模块：线性代数 12． 设A～B，其中，则x=________，y=_______． 正确答案：x=3，y=1解析：因为A～B所以，解得x=3，y=1． 知识模块：线性代数 13． 设A=有三个线性无关的特征向量，则a=_________． 正确答案：0解析：由｜λE一A｜=0得A的特征值为λ1=一2，λ2=λ3=6．因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E－A)=1，解得a=0． 知识模块：线性代数 解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14． 设A为n阶可逆矩阵，A2=｜A｜E．证明：A=A*． 正确答案：因为AA*=｜A｜E，又已知A2=｜A｜E，所以AA*=A2，而A可逆，故A=A*． 涉及知识点：线性代数 15． 设向量组α1，…，αn为两两正交的非零向量组，证明：α1，…，αn线性无关，举例说明逆命题不成立． 正确答案：令k1α1+…+knαn=0，由α1，…，αn两两正交及(α1，k1α1+…+knαn)=0，得k1(α1，α1)=0，而(α1，α1)=｜α1｜2＞0，于是k1=0，同理可证k2=…=kn=0，故α1，…，αn线性无关，令，显然α1，α2线性无关，但α1，α2不正交． 涉及知识点：线性代数 16． 设α1，α2，α3为四维列向量组，α1，α2线性无关，α3=3α1+2α2，A=(α1，α2，α3)，求AX=0的一个基础解系． 正确答案：方法一AX=0x1α1+x2α2+x3α3=0，由α3=3α1+2α2可得(x1+3x3)α1+(x2+2x3)α2=0，因为α1，α2线性无关，因此．方法二由r(A)=2可知AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，而3α1+2α2一α3=0，因此ξ=为AX=0的一个基础解系． 涉及知识点：线性代数 设． 17． 若ai≠aj(i≠j)，求ATX=b的解； 正确答案：D=｜AT｜=(a4一a1)(a4一a2)(a4一a3)(a3一a1)(a3一a2)(a2一a1)，若ai≠aj(i≠j)，则D≠0，方程组有唯一解，又D1=D2=D3=0，D4=D，所以方程组的唯一解为X=(0，0，0，1)T； 涉及知识点：线性代数 18． 若a1=a3=a≠0，a2=a4=－a，求ATX=b的通解． 正确答案：当a1=a3=a≠0，a2=a4=一a时，，方程组通解为X=k1(一a2，0，1，0)T+k2(0，一a2，0，1)T+(0，a2，0，0)T(1，k2为任意常数)． 涉及知识点：线性代数 19． 设A=，已知A有三个线性无关的特征向量且λ=2为矩阵A的二重特征值，求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵． 正确答案：由λ1=λ2=2及λ1+λ2+λ3=tr(A)=10得λ3=6．因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以r(2E－A)=1，涉及知识点：线性代数 20． 设A为三阶矩阵，Aαi=iαi(i=1，2，3)，，求A． 正确答案：令 涉及知识点：线性代数 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，tr(A)=1，又B=且AB=O． 21． 求正交矩阵Q，使得在正交变换X=QY下二次型化为标准形． 正确答案：由AB=O得为λ=0的两个线性无关的特征向量，从而λ=0为至少二重特征值，又由tr(A)=1得λ3=1，即λ1=λ2=0，λ3=1． 涉及知识点：线性代数 22． 求矩阵A． 正确答案：由QTAQ=． 涉及知识点：线性代数 23． 设A为n阶矩阵，证明：r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A=αβT． 正确答案：设r(A)=1，则A为非零矩阵且A的每行元素都成比例，令，故A=αβT，显然α，β为非零向量，设A=αβT，其中α，β为非零向量，则A为非零矩阵，于是r(A)≥1，又r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，故r(A)=1． 涉及知识点：线性代数 设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关． 24． 证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示； 正确答案：因为α1，α2，β1，β2线性相关，所以存在不全为零的常数k1，k2，l1，l2，使得k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，或k1α1+k2α2=一l1β1—l2β2．令γ=k1α1+k2α2=一l1β1一l2β2，因为α1，α2与β1，β2都线性无关，所以k1，k2及l1，l2都不全为零，所以γ≠0． 涉及知识点：线性代数 25． 设，求出可由两组向量同时线性表示的向量． 正确答案：令k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，所以γ=kα1—3kα2=一kβ1+0β2． 涉及知识点：线性代数 26． 证明：r(AB)≤min｛r(A)，r(B)｝． 正确答案：令r(B)=r，BX=0的基础解系含有n一r个线性无关的解向量，因为BX=0的解一定是ABX=0的解，所以ABX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于BX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即n—r(AB)≥n—r(B)，r(AB)≤r(B)；又因为r[(AB)T]=r(AB)=r(BTAT)≤r(AT)=r(A)，所以r(AB)≤min{r(A)，r(B)}． 涉及知识点：线性代数 27． 设A=有三个线性无关的特征向量，求A及An． 正确答案：由｜λE－A==0，得λ1=λ2=1，λ3=2．E—A=，因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以A一定可对角化，从而r(E—A)=1，涉及知识点：线性代数 设方程组为矩阵A的分别属于特征值λ1=1，λ2=一2，λ3=一l的特征向量． 28． 求A； 正确答案：因为方程组有无穷多个解，所以D==a2一2a+1=0，解得a=1． 涉及知识点：线性代数 29． 求｜A*+3E｜． 正确答案：｜A｜=2，A*对应的特征值为，即2，一1，一2，A*+3E对应的特征值为5，2，1，所以｜A*+3E｜=10． 涉及知识点：线性代数 30． 设P为可逆矩阵，A=PTP．证明：A是正定矩阵． 正确答案：显然AT=A，对任意的X≠0，XTAX=(PX)T(PX)，因为X≠0且P可逆，所以PX≠0，于是XTAX=(PX)T(PX)=｜｜ PX｜｜2＞0，即XTAX为正定二次型，故A为正定矩阵． 涉及知识点：线性代数篇六：(a3e)-1(a2-9e)
篇七：(a3e)-1(a2-9e)
考研数学二（线性代数）-试卷5(总分56,考试时间90分钟)
1.选择题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，且｜E+A｜=0，则｜2E+A2｜为()．
A.B.54C.-2D.-242.设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m>n，令r(AB)=r，则()．
A.r>m
B.r=mC.r D.r≥m 3.设n维列向量组α1，α2，…，αm(m1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是()． A.向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表示 B.向量组β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αm线性表示 C.向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价 D.矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵β=(α1，α2，…，αm)等价 4.设A，B为正定矩阵，C是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是()． A.CT+ACB.A-1+B-1C.A*+B*D.A-B5.下列说法正确的是()． A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同 C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型 D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的2.填空题 1.设A=，则(A+3E)-1(A2-9E)=_______． 2.设A=，则A-1=_______． 3.设A=，B为三阶非零矩阵，且AB=0，则r(A)=_______． 4.设向量组α1，α2，α3线性无关，且α1+aα2+4α3，2a1+α2-α3，α2+α3线性相关，则a=_______5.设方程组无解，则a=_______． 6.设A为n阶可逆矩阵，若A有特征值λ0，则(A*)2+3A*+2E有特征值_______． 7.设的特征向量，则a=_______，b=_______． 8.设，则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为_______ 3.解答题 解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1.设AX=A+2X，其中A=，求X． 2.设A为n阶矩阵，且Ak=O，求(E-A)-1． 3.设α1，α2，…，αn(n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时α1+α2，α2+α3，…，αn+α1线性无关． 4.设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交． 5.参数a取何值时，线性方程组有无数个解?求其通解． 6.(1)a，b为何值时，β不能表示为α1，α2，α3，α4的线性组合?(2)a，b为何值时，J6『可唯一表示为α1，α2，α3，α4的线性组合? 7.，求A的全部特征值，并证明A可以对角化． 设α为n维非零列向量，8.证明：A可逆并求A-1； 9.证明：α为矩阵A的特征向量． 10.设A=有三个线性无关的特征向量，求x，y满足的条件． 11.用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x1x3-4x32为标准形． 12.设A是n阶正定矩阵，证明：｜E+A｜>1． 13.求PTCP； 14.证明：D-BA-1BT为止定矩阵．