(ae)²(2篇)
来源：公文范文 发布时间：2024-08-25 10:30:03 点击：
篇一：(ae)²
、希腊字母：
α——阿尔法
β——贝塔
γ——伽马
Δ——德尔塔
ξ——可sei
ψ——可赛
ω——奥秘噶
μ——米哟
λ——南木打
σ——西格玛
τ——套
φ——fai2、数学运算符：
∑—连加号
∏—连乘号
∪—并
∩—补
∈—属于
∵—因为
∴—所以
√—根号
‖—平行
⊥—垂直
∠—角
⌒—弧
⊙—圆
∝—正比于
∞—无穷
∫—积分
≈—约等
≡—恒等
3、三角函数：
sin—赛因
cos—考赛因
tan—叹近体
cot—考叹近体
sec—赛看近体
csc—考赛看近体
序号
大写
小写
英文注音
国际音标注音
中文注音
1Ααalphaa:lf阿尔法
2Ββbetabet贝塔
3Γγgammaga:m伽马
4Δδdeltadelt德尔塔
5Εεepsilonep`silon伊普西龙
6Ζζzetazat截塔
7Ηηetaeit艾塔
8Θθthetθit西塔
9Ιιiotaiot约塔
10Κκkappakap卡帕
11Λλlambdalambd兰布达
12Μμmumju缪
13Ννnunju纽
14Ξξxiksi克西
15Οοomicronomik`ron奥密克戎
16Ππpipai派
17Ρρrhorou肉
18Σσsigma`sigma西格马
19Ττtautau套
20Υυupsilonjup`silon宇普西龙
21Φφphifai佛爱
22Χχchiphai西
23Ψψpsipsai普西
24Ωωomegao`miga欧米伽
希腊字母的正确读法是什么？
1Ααalphaa:lf阿尔法
2Ββbetabet贝塔
3Γγgammaga:m伽马
4Δδdeltadelt德尔塔
5Εεepsilonep`silon伊普西龙
6Ζζzetazat截塔
7Ηηetaeit艾塔
8Θθthetθit西塔
9Ιιiotaiot约塔
10Κκkappakap卡帕
11∧
λlambdalambd兰布达
12Μμmumju缪
13Ννnunju纽
磁阻系数
14Ξξxiksi克西
15Οοomicronomik`ron奥密克戎
16∏πpipai派
17Ρρrhorou肉
18∑σsigma`sigma西格马
19Ττtautau套
20Υυupsilonjup`silon宇普西龙
21Φφphifai佛爱
22Χχchiphai西
23Ψψpsipsai普西
角速；
24Ωωomegao`miga欧米伽
希腊字母读法
Αα：阿尔法
Alpha
Ββ：贝塔
Beta
Γγ：伽玛
Gamma
Δδ：德尔塔
Delte
Εε：艾普西龙
Epsilon
ζ：捷塔
Zeta
Ζη：依塔
Eta
Θθ：西塔
Theta
Ιι：艾欧塔
Iota
Κκ：喀帕
Kappa
∧λ：拉姆达
Lambda
Μμ：缪
Mu
Νν：拗
Nu
Ξξ：克西
Xi
Οο：欧麦克轮
Omicron
∏π：派
Pi
Ρρ：柔
Rho
∑σ：西格玛
Sigma
Ττ：套
Tau
Υυ：宇普西龙
Upsilon
Φφ：faiPhi
Χχ：器
Chi
Ψψ：普赛
Psi
Ωω：欧米伽
Omega
数学符号大全
2008年01月29日
星期二15:25因为自然科学的讨论经常要用到数学，但用文本方式只能表达
L!td5wxr^|$sY
左右结构的数学公式，上下结构、根式、指数等都很难表达。为了
便于广大网友在讨论中有一种统一的相互能共通的用文本方式表达
*z;|(TH^pa1F
数学公式的方法，汇总诸位热心数学网友的意见后，在本版提出以
`JRz"@/X
下的用文本方式表达（原非文本结构的）数学公式的初步的标准：
x^n
表示x的n次方，如果n是有结构式，n应外引括号；
（有结构式是指多项式、多因式等表达式）
tc|*@|6_6C,wD(V
x^(n/m)
表示x的n/m次方；
SQR(x)
表示x的开方；
L#}Ef;E;f
1|H#[%yp
sqrt(x)
表示x的开方；
9U`4?Nd
√(x)
表示x的开方,
如果x为单个字母表达式，x的开方可简表为√x；
1J;r6u^}
x^(-n)
表示x的n次方的倒数；
x^(1/n)
表示x开n次方；
log_a,b
表示以a为底b的对数;8MHD4w5_A(wDp
x_n
表示x带足标n;
∑(n=p,q)f(n)
表示f(n)的n从p到q逐步变化对f(n)的连加和，Y-t2lP+R"r
如果f(n)是有结构式，f(n)应外引括号；
6a7t}0zHA%tSa(X
6f+wQQ0OWY
∑(n=p,q;r=s,t)f(n,r)
表示
∑(r=s,t)[∑(n=p,q)f(n,r)],
8w3b]5{w!Jr
如果f(n，r)是有结构式，f(n，r)应外引括号；
FpjCG+PN7odl?F
vpaqfL}h
∏(n=p,q)f(n)
表示f(n)的n从p到q逐步变化对f(n)的连乘积,
如果f(n)是有结构式，f(n)应外引括号；
&~R0is#uO"J
∏(n=p,q;r=s,t)f(n,r)
表示
∏(r=s,t)[∏(n=p,q)f(n,r)],
如果f(n，r)是有结构式，f(n，r)应外引括号；
"O|gi%Yn
lim(x→u)f(x)
表示f(x)的x趋向u时的极限,
如果f(x)是有结构式，f(x)应外引括号；
5aI#@?%K@~!K
lim(y→v;x→u)f(x,y)表示
lim(y→v)[lim(x→u)f(x,y)],
d&u{"?0tAKuMD
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
OX-}b"vRT9w
∫(a,b)f(x)dx
表示对f(x)从x=a至x=b的积分,7cT;y`n(P)k\Gk)J
如果f(x)是有结构式，f(x)应外引括号；
∫(c,d;a,b)f(x,y)dxdy
表示∫(c,d)[∫(a,b)f(x,y)dx]dy,
o*M4vN}md
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
,H*Fh9Z1Mj[(R
∫(L)f(x,y)ds
表示f(x,y)在曲线L上的积分,
3|[^4l3GH
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
@Ve2g{;t+mS
∫∫(D)f(x,y,z)dσ
表示f(x,y,z)在曲面D上的积分,
如果f(x，y，z)是有结构式，f(x，y，z)应外引括号；
T{(Trx^$M(_
∮(L)f(x,y)ds
表示f(x,y)在闭曲线L上的积分,
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
∮∮(D)f(x,y,z)dσ
表示f(x,y,z)在闭曲面D上的积分,
POexo+?kN.c
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
;l.i6Ho7_/}no.N
∪(n=p,q)A(n)
表示n从p到q之A(n)的并集，-`oc`;\rL[
如果A(n)是有结构式，A(n)应外引括号；
7E{K)T.b_
/qtcgr2i7f
∪(n=p,q;r=s,t)A(n,r)
表示
∪(r=s,t)[∪(n=p,q)A(n,r)],
#VHFucI.ekw\F
如果A(n，r)是有结构式，A(n，r)应外引括号；
^yi6a?3kT
ry_k9`!M
∩(n=p,q)A(n)
表示n从p到q逐步变化对A(n)的交集,Q/G0`0v{
如果A(n)是有结构式，A(n)应外引括号；
∩(n=p,q;r=s,t)A(n,r)
表示
∩(r=s,t)[∩(n=p,q)A(n,r)],
如果A(n，r)是有结构式，A(n，r)应外引括号；
M.s@I4sU+w`G\
……。
m9jn#nv&OT4a
当文本格式表达找不到表达符的表达代替字符初步标准有：
a（≤A
表示a为A的子集；
4zD0CkrdPCp#c
A≥）a
表示A包含a；
a（＜A
表示a为A的真子集；
Z0e|KygM0_&w
A＞）a
表示a为A的真子集；
……。
(ij1[8FK"{_bz"W,f
XVDY4S3]tk@
注：
顺序结构的表达式是按以下的优先级决定运算次序：
#QIteZJvp(P
1.函数；
2.幂运算；
3.乘、除；
4.加、减。
复合函数的运算次序为由内层至外层。
在表达式中如果某有结构式对于前面部分应作整体看待时，应将作整体看待的部分外加括号。例如，相对论运动质量公式
hmj&G!P3aI1SE)U
可表为：
7gcKE1K
m=m0/SQR(1-v^2/c^2)`1TK;j|
=m0/SQR[1-(vv)/(cc)]；
yT^U+i!S
#@HtML
但不能表为
zx4c@~XC
m=m0/SQR(1-vv/cc)；
因上式中的vv/cc会让人误解为v平方除c再乘c。
连加连乘式中的∑∏等字符须用全角字符。如果使用了
T6d)[$iv8J:C
半角的ASCII字符，虽然公式紧凑了，有可能会因不同电脑、不同的软件、不同的设置中使用了不同ASCII字符集(ASCII
扩展字符，最高位为1)会显不同的字符。结果会引起对方的q~,jnJ&?[
误解。
w8[Ys*YS/VKd
各种符号的英文读法
"exclam"＝"!""at"＝"@""numbersign"＝"#""dollar"＝"$""percent"＝"%""caret"＝"^""ampersand"＝"&""asterisk"＝"*""parenleft"＝"(""parenright"＝")""minus"＝"-""underscore"＝"_""equal"＝"=""plus"＝"+""bracketleft"＝"""braceright"＝"}""semicolon"＝";""colon"＝":""quote"＝""""doublequote"＝""""backquote"＝""""tilde"＝"~""backslash"＝"\""bar"＝"|""comma"＝",""less"＝"<""period"＝".""greater"＝">""slash"＝"/""question"＝"?""space"＝""~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
￣hyphen连字符
"apostrophe省略号；所有格符号
—dash破折号
‘’singlequotationmarks单引号
“”doublequotationmarks双引号
()parentheses圆括号
squarebrackets方括号
Anglebracket{}Brace《
》Frenchquotes法文引号；书名号...ellipsis省略号
¨tandemcolon双点号
"ditto同上
‖parallel双线号
／virgule斜线号
＆ampersand=and～swungdash代字号
section;division分节号
→arrow箭号；参见号
＋plus加号；正号
－minus减号；负号
±plusorminus正负号
×ismultipliedby乘号
÷isdividedby除号
＝isequalto等于号
≠isnotequalto不等于号
≡isequivalentto全等于号
≌isequaltoorapproximatelyequalto等于或约等于号≈isapproximatelyequalto约等于号
＜islessthan小于号
＞ismorethan大于号
≮isnotlessthan不小于号
≯isnotmorethan不大于号
≤islessthanorequalto小于或等于号
≥ismorethanorequalto大于或等于号
％percent百分之…
‰permill千分之…
∞infinity无限大号
∝variesas与…成比例
√(square)root平方根
∵since;because因为
∴hence所以
∷equals,as(proportion)等于，成比例
∠angle角
⌒semicircle半圆
⊙circle圆
○circumference圆周
πpi圆周率
△triangle三角形
⊥perpendicularto垂直于
∪unionof并，合集
∩intersectionof交，通集
∫theintegralof…的积分
∑(sigma)summationof总和
°degree度
′minute分
″second秒
＃
number…号
℃Celsiussystem摄氏度
＠at单价
x"是xprime(比如转置矩阵)x"是xdouble-prime数学符号大全(2009-04-1711:16:36)
标签：数学符号
整函数
圆周率
常用对数
导函数
分类：教育与讽刺快考试了该出卷子了，复杂的数学符号好难啊
copy一下吧
没有的请大家添在留言栏吧，数学符号大全
1几何符号
⊥
∥
∠
⌒
⊙
≡
2代数符号
∝
∧
∨
～
∫
≠
3运算符号
×
÷
√
±
4集合符号
∪
∩
∈
5特殊符号
∑
π（圆周率）
6推理符号
|a|
⊥
∽
△
≡
±
≥
≤
↑
→
↓
↖
∧
∨
&;
①②
③④
⑤⑥
Γ
Δ
Θ
Λ
Φ
Χ
Ψ
Ω
α
β
γ
δ
ι
κ
λ
μ
ξ
ο
π
ρ
χ
ψ
ω
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
Ⅸ
Ⅹ
Ⅺ
Ⅻ
≌
≤∠
∈
⑦
Ξ
ν
△
≥
≈
∞
∩
∪
←
↘
↙
⑧
⑨
⑩
Ο
Π
ζ
η
τ
υ
∶
≠
Σ
↗
∥
ε
θ
σ
φ
ⅰ
ⅱ
ⅲ
ⅳ
ⅴ
ⅵ
ⅶ
ⅷ
ⅸ
ⅹ
∈
∏
∑
∕
√
∝
∞
∟
∠
∣
∥
∧
∨
∩
∪
∫
∮
∴
∵
∶
∷
∽
≈
≌
≒
≠
≡
≤
≥
≦
≧
≮
≯
？
⊙
⊥
⊿
⌒
℃
指数0123：º¹²³
符号
意义
∞
无穷大
PI
圆周率
|x|
函数的绝对值
∪
集合并
∩
集合交
≥
大于等于
≤
小于等于
≡
恒等于或同余
ln(x)
自然对数
lg(x)
以2为底的对数
log(x)
常用对数
floor(x)
上取整函数
ceil(x)
下取整函数
xmody
求余数
{x}
小数部分x-floor(x)
∫f(x)δx
不定积分
∫[a:b]f(x)δx
a到b的定积分
[P]
P为真等于1否则等于11∑[1≤k≤n]f(k)
对n进行求和,可以拓广至很多情况
如：∑[nisprime][n<10]f(n)
∑∑[1≤i≤j≤n]n^2limf(x)(x->?)
求极限
f(z)
f关于z的m阶导函数
C(n:m)
组合数,n中取m
P(n:m)
排列数
m|n
m整除n
m⊥n
m与n互质
a∈A
a属于集合A
#A
集合A中的元素个数
∈
∏
∑
√
∞
∠
∣
∥
∧
∨
∩
∪
∫
∮
∴
∵
∽
≈
≌
≠
≡
≤
≥
≦
≧
？
⊙
⊥
•数学符号大全收藏
运算符：
±×÷∶∫∮
≡
≌
≈∽
∝
≒
≠≡
≤≥≦
≧
≮
≯
／
√‰∑∏＆
关系运算符：
∧
∨
集合符号：
∪
∩
∈
∣
序号：
①②
③④
⑤⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
Ⅸ
Ⅹ
Ⅺ
Ⅻ
ⅰ
ⅱ
ⅲ
ⅳ
ⅴ
ⅵ
ⅶ
ⅷ
ⅸ
ⅹ
≈
㈠
㈡
㈢
㈣
㈤
㈥
㈦
㈧
㈨
㈩
其它：
～±×÷∑
∪
∩
∈
√
∥
∠
⊙
≡
≌
≈
∽
≠
≮
≯
≤
≥
∞
∵
∴
♂
♀
℃
￠
‰
☆
★
○
●
◎
◇
◆
□
■
△
▲
→
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
Ⅸ
Ⅹ
Ⅺ
Ⅻ
＊
Π
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ξ
ο
π
ρ
σ
τ
υ
φ
χ
ψ
ω
ΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚΛΜΝΞΟΠΡΣΤΥΦΧΨΩ
αβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψω
←
↑
→
↓
↖
↗
↘
↙
∞∴
∵
∶
∷
°′″℃
⊕
⊿
△
⊙
∠
⌒
⊥
∥
〔
〕
〈
〉
《》
「
」
『
』
〖
〗
【
】
（）
［
］
｛
｝
℡
№※
＃
＆
＠
☆
★
○
●◎
△
▲
◇
◆
□■
〓
◣
◥
◤
◢
♀
♂
←↑→↓↖↗↘↙∈∏∑⊥⊿∕√∝∞∟∠∣∥∧∨∩∪
12∫∮∴∵∶∷∽≈≌≒≠≡≤≥≦≧≮≯
﹟﹠﹡﹢﹣﹤﹥﹦﹨﹩﹪﹫！﹖﹗＂＃＄％＆＇＊＼＾＿
｀｜～￠￡￢￣￤￥
⊕⊙⌒▔▕■□▲△▼▽◆◇○◎●◢◣◤◥★☆☉♀♂
、。〃〆〇〒〓〝〞＊╳×±·＋，－．／
︵︶︷︸︹︺︻︼︽︾︿﹀﹁﹂﹃﹄﹍﹙﹚（）
﹛﹜﹤﹥﹝﹞〔〕［］｛｝〈〉《》「」『』【】〖〗
ΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚΛΜΝΞΟΠΡΣΤΥΦΧΨΩ
αβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψω
АБВГДЕЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧ
ШЩЪЫЬЭЮЯЁ
абвгдежзийклмнопрстуфхцч
шщъыьэюяё
a（≤A
表示a为A的子集；
A≥）a
表示A包含a；
a（＜
A
表示a为A的真子集；
A＞）a
表示a为A的真子集；
∑(n=p,q)f(n)表示f(n)的n从p到q逐步变化对f(n)的连加和，如果f(n)是有结构式，f(n)应外引括号；
∑(n=p,q;r=s,t)f(n,r)表示
∑(r=s,t)[∑(n=p,q)f(n,r)],
如果f(n，r)是有结构式，f(n，r)应外引括号；
∏(n=p,q)f(n)表示f(n)的n从p到q逐步变化对f(n)的连乘积,
如果f(n)是有结构式，f(n)应外引括号；
∏(n=p,q;r=s,t)f(n,r)表示
∏(r=s,t)[∏(n=p,q)f(n,r)],
如果f(n，r)是有结构式，f(n，r)应外引括号；
lim(x→u)f(x)表示
f(x)的x趋向
u时的极限,
如果f(x)是有结构式，f(x)应外引括号；
lim(y→v;x→u)f(x,y)表示
lim(y→v)[lim(x→u)f(x,y)],
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
∫(a,b)f(x)dx表示对
f(x)从
x=a至
x=b的积分,
如果f(x)是有结构式，f(x)应外引括号；
∫(c,d;a,b)f(x,y)dxdy表示∫(c,d)[∫(a,b)f(x,y)dx]dy,
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
∫(L)f(x,y)ds表示
f(x,y)在曲线
L上的积分,
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
∫∫(D)f(x,y,z)dσ表示
f(x,y,z)在曲面
D上的积分,
如果f(x，y，z)是有结构式，f(x，y，z)应外引括号；
∮(L)f(x,y)ds表示
f(x,y)在闭曲线
L上的积分,
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
∮∮(D)f(x,y,z)dσ表示
f(x,y,z)在闭曲面
D上的积分,
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
∪(n=p,q)A(n)表示n从p到q之A(n)的并集，如果A(n)是有结构式，A(n)应外引括号；
∪(n=p,q;r=s,t)A(n,r)表示
∪(r=s,t)[∪(n=p,q)A(n,r)],
如果A(n，r)是有结构式，A(n，r)应外引括号；
∩(n=p,q)A(n)表示n从p到q逐步变化对A(n)的交集,
如果A(n)是有结构式，A(n)应外引括号；
∩(n=p,q;r=s,t)A(n,r)表示
∩(r=s,t)[∩(n=p,q)A(n,r)],
如果A(n，r)是有结构式，A(n，r)应外引括号；
13
篇二：(ae)²
八年级数学上册第一二章知识点整理
勾股定理
一、思维导图
二、易错题
、满足a²+b²=c²的三个正整数，称为＿＿＿，比如：5,12,＿＿＿。
解：勾股数；√5²+12²=132、在△ABc中，AB=15，Ac=13，高AD=12，则△ABc的周长是＿＿＿。
解：应分两种情况说明：
（1）当△ABc为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√（AB²-AD²）=√（15²-12²）=9，在Rt△AcD中，cD=√（Ac²-AD²）=√（13²-12²）=5，∴Bc=5+9=14∴△ABc的周长为：15+13+14=42；
（2）当△ABc为钝角三角形时，高AD交Bc延长线于D
在Rt△ABD中，BD=√（AB²-AD²）=√（15²-12²）=9．
在Rt△AcD中，cD=√（Ac²-AD²）=√（13²-12²）=5∴Bc=9-5=4∴△ABc的周长为：15+13+4=32综上，当△ABc为锐角三角形时，△ABc的周长为42；
当△ABc为钝角三角形时，△ABc的周长为32．
3、在一个圆柱形灯罩侧面上缠绕彩带，如图（灯罩的俯视图），已知灯罩高108cm，底面周长为36cm，如果在灯罩侧面缠绕彩带4圈，最少需要彩纸多长？那么绕n圈呢？
解：（1）∵缠绕灯罩4圈，且高108cm
∴一圈高：108÷4=27cm
∴一圈彩带长：√27²+√36²=45cm
∴四圈彩带总长：45×4=180cm
（2）∵绕n圈，且高108cm
∴一圈高：108÷n（cm）
∴一圈彩带长：√（108÷n）²+36²
∴彩带总长：n×√（108÷n）²+36²=36×√n²+4、在正方形ABcD中，E是Bc中点，F为cD上一点，且DF=3cF，判断AE和EF的位置关系。
证：连AF。设DF=3x，cF=x
∴AD=AB=Dc=Bc=x+3x=4x
∴BE=Ec=2x
∵∠B=∠c=∠D=90°
∴AE²=（2x）2+（4x）2=20x²
EF²=x²+（2x）²=5x²
AF²=（3x）²+（4x）²=25²
∴AE²+EF²=AF²
∴AE⊥EF
5、如图，在△ABc中，∠B=90°，两直角边AB=7，Bc=24，在三角形内有一点P，使P到各边距离相等。与Ac，cB，AB的交点为G，F，E。则这个距离为＿＿＿。
解：∵∠B=90°
∴Ac=√AB²+Bc²=√7²+24²=25连cP，PA，BP，设GA=x，则EA=x
BE=7-x=EB，cF=cG=17+x
∴17+x+x=25x=4∴这个距离为7-4=36、在△ABc中，∠B=22.5°，∠c=60°，AB的垂直平分线交Bc于D，BD²=72，AE⊥Bc于E，求Ec²。
解：∵AB的中垂线为FD
∴∠B=22.5°=∠BAD，∴∠ADc=45°，∴DE=EA
BD²=AD²=72，∵AE⊥Dc，∴AE²+DE²=72∴AE²=DE²=36∵∠c=60°，∴∠EAc=30°
设Ec²=x²，则Ac²=²=4x²
X²+36=4x²
X²=12∴Ec²=127、正方形ABcD的边长为8，m在AB上，Bm=2，对角线Ac上有一动点P，求Pm+PB的最小值。
解：连接mD。做m关于Ac的对称点E交AD于E。∵mB=2∴ED=2最小值为BE。∵∠A=90°
∴BE=√（8-2）²+8²=1∴Pm+PB最小值为18、一个梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙Ac上。这时梯子下端B与墙角c距离为1.5m，梯子向右水平滑动0.5m停在DE位置上，求梯子顶端A向下滑动了多少米？
解∵∠c=90°，∴AB²=Ac²+Bc²，DE²=Ec²+cD²
∴2.5²=Ac²+1.5²，2.5²=Ec²+（1.5+0.5）²，∴Ac=2m，Ec=1.5m，∴AE=Ac-Ec=2-1.5=0.5（m），9、将一根长24cm的筷子置于底面直径5cm，高12cm的圆柱形水杯中。设筷子露在杯子外的长度为h（cm），则h的取值范围是＿＿＿。
解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24-12=12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，此时，杯内筷子长=√5²+12²=13cm
∴h=24-13=11cm．
∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm
0、一张矩形纸片ABcD的长AD=9cm，宽AB=3cm，折叠后，使得点D与点B重合，c与G重合，求折叠后BE的长和折痕EF的长。
解：∵折叠后D与B重合
∴ED=BE
cF=cG，AB=Dc=3cm
设Fc=x（cm），则BF=9-xcm，GF=x（cm）
∵∠A=∠B=∠c=∠D=∠G=90°
∴BF²=BG²+GF²
²=3²+x²
∴x=4BF=9-4=5cm
又∠BEF=∠DEF=∠EFB
∴BE=BF=5cm
作FH⊥AD交AD于H，Fc=HD=3，EH=9-3-5=1cm
∵∠FHE=90°
∴EF=√1²+3²=√10（cm）
三、思考题
、如图，△ABc为等腰三角形，c为直角顶点，D1，D2，D3......Dn-1是cB边上的n等分点，从c作AD1的垂线，分别交AD1，AD2，AD3........ADn-1AB于P1，P2，P3，......Pn-1,Pn点，连接PnDn-1，求证:∠AD1c=∠BDn-1Pn。
2、如图,等边三角形ABc的边长a=25+12根号3,P是三角形ABc内的一点,若PA2+PB2=Pc2。若Pc=5，求PA、PB的长。
3、如图大小两个半圆它们的直径在同一直线上弦AB与小半圆相切且与直径平行弦AB长12厘米图中阴影部分面积是多少？
4、已知P,Q均为质数，切满足5P2+3Q=59.则以P+3，1-P+Q，2P+Q-4为边长的三角形是什么三角形？
5、如图，△ABc中三条角平分线交于点o，已知AB＜Bc＜cA，求证：oc＞oA＞oB。
6、将长为2n（n为自然数且n≥4）的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记（a，b，c）为三边长分别是a，b，c且满足a＜b＜c的一个三角形，就n=6的情况，分别写出所有满足题意的（a，b，c）所构成的三角形是什么三角形？
7、如图，RT△ABc中，D是Ac中点，DE⊥AB与E，求证：BE2-AE2=Bc2实数
一、思维导图
.无理数定义：无限不循环小数
2.实数的分类：分为有理数和无理数。有理数分为：正有理数、负有理数、零
3.算术平方根：若一个正数x的平方等于a，即x²=a，则这个正数x为a的算术平方根。a的算术平方根记作，读作“根号a”，a叫做被开方数。规定：0的算术平方根为0。
4.平方根：如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x就叫做a的平方根。
5.二次根式的定义：一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数，被开方数必须大于或等于0。
6.最简二次根式满足：①.分母中不含根号=根号下没有分母=根号下没有分数
②．根号下不含可以开得尽方的数
7.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
8.2=a
=a
①二次根式的乘法法则：×
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．
②积的算术平方根的性质：
两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积．
③二次根式的除法法则：=
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．
④商的算术平方根的性质：=
二、易错题
.已知：y=x－+2，求－.
解：∵x－2≥0,2－x≥∴x=2,y=×2－0+0=1将x=2，y=1代入所求式，得
原式==3-3=2、下列说法：①只有正数才有平方根；②－2是4的平方根；③5的平方根是；④±都是3的平方根；⑤的平方根是－2，其中正确的是（）
A.①②③
B.③④⑤
c.③④
D.②④
解：错误原因①：0的平方根为③：5的平方根为±
⑤：的平方根是2（任何非负数的平方根为非负数）
故选D
3、若与互为相反数，求的值.
解：∵≥0，≥0.
又∵、互为相反数
∴==即
a-b+2=b=
a+b-1=解得
a=-
代入原式，得
原式===-2答：所求式的值为-24、已知解：原式可化为
∵01∴x-<∴原式=x++x－=2x
5、先化简，再求值.－，其中x=4,y=27.
解：原式=6=-
6、已知，2m+1的平方根是±3，的算数平方根是2，求m+2n的平方根.
解：由题意，得
2m+1=
=
解得，m=4，n=1∴m+2n=4故m+2n的平方根为.
7、使＋有意义的x的取值范围是（）
A.x≥B.x≠2c.x>2D.x≥0且x≠2解：使有意义的x的取值范围是x≥0，使有意义的x的取值范围是x-2≠0，x-2>0.
综上，使＋有意义的x的取值范围是x>2.
8、已知，且，求x+y的值.
解：∵≥0，≥又∵
∴=2，=1又∵，即x-y≤∴或.
∴x+y=－1或29、下列各式计算正确的是（）
A、B、c、D、（x>0，y≥0）
解：错因：A.应为
B.应为
c.应为
故选D
0、是否存在正整数a、b（a
解：存在.，因为只有同类二次根式才能合并，所以
是同类二次根式.
设
所以m+n=6，又a，b，a
解得
=
即
=
可得.
三、思考题
.
设x、y为正有理数，，为无理数，求证：+为无理数。
2.
设x，y及+为整数，证明：，为整数。
3.
若实数x，y满足3+5︱y︱=7，求S=2-3︱y︱的取值范围。
4.
有下列三个命题：
（甲）
若a，b是不相等的无理数，则ab+a-b是无理数。
（乙）
若a，b是不相等的无理数，则是无理数。
（丙）
若a，b是不相等的无理数，则+是无理数。
其中正确命题的个数为（）
（A）（B）1（c）2（D）35．2=
6．计算
7.计算
8.已知整数x，y满足，那么整数对（x，y）的个数是
9.已知a，b，c为正整数，且为有理数，证明：为整数。
0.已知实数x，y满足（，求证：x+y=0。
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